> < ^ Date: Wed, 02 Dec 1992 14:17:42 +0100
> ^ From: Meinolf Geck <meinolf.geck@math.rwth-aachen.de >
> ^ Subject: exercises with GAP

Hello!
Several e-mails ago there was a short discussion about GAP and its possible
use in exercises to courses in group theory or similar topics. At present,
Prof. Pahlings is giving a course on group theory (for 3rd year students),
and in addition to the ''usual theoretical'' exercises we have prepared
some exercises involving simple groups. In most cases, the purpose was
to show that a group given by permutations or matrices over a finite field
is in fact simple (e.g., the Mathieu groups, Janko's smallest group).

Very little knowledge about the functions and the structure of GAP
is needed to solve these exercises, and we taught this in a preliminary
2 hour session.

Of course, the exercises are written in German. If someone is very much
intersested in these and cannot understand the German, please send a
message to me and I will try to translate them.

I enclose a latex file which contains several ''Aufgaben''. The intention
of the first one is to explain the Schreier--Sims procedure for calculating
the order of a permuatation group. The second one gives a useful criterion
for showing that a group is simple. These are the basic tools for solving
the following exercises.

Meinolf Geck
Lehrstuhl D f"ur Mathematik
RWTH Aachen

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentstyle{article}
\textheight 21cm
\textwidth 14cm

\newcommand{\N}{\mbox{$I\!\! N$}}       % die natuerlichen Zahlen
\newcommand{\Z}{\mbox{$Z\!\!\! Z\!$}}   % die ganzen Zahlen
\newcommand{\Q}{\mbox{$Q\!\!\!\! I$}}   % die rationalen Zahlen
\newcommand{\R}{\mbox{$I\!\! R$}}       % die reellen Zahlen
\newcommand{\C}{\mbox{$C\!\!\!\! I$}}   % die komplexen Zahlen
\newcommand{\F}{\mbox{$I\!\! F\!$}}     % endliche K"orper


\begin{document}
\begin{center}
{\Large {\bf "\Ubung zur Gruppentheorie I \hspace{5 mm} (WS92/93)}}\\
Prof. Dr. Pahlings
\end{center}
\vspace{3 mm}
\newcounter{nummer}

\setcounter{nummer}{1}

\newenvironment{aufgabe}{\noindent {\bf Aufgabe \thenummer.}\\

\begin{aufgabe}
Sei $G$ eine endliche Permutationsgruppe. Ziel dieser Aufgabe ist es, einen
Algorithmus zu beschreiben, mit dem man die Ordnung von $G$ berechnen kann.
Dazu nehmen wir an, da{\ss} Permutationen $X \subseteq S_n$ gegeben
sind, so da{\ss} $G=\langle X \rangle$ gilt. \\
(a) Sei $i \in \{1,\ldots,n\}$. Zeigen Sie, da{\ss} die folgende Prozedur
die Bahn $B$ von $i$ (in der Variablen {\tt bahn}) sowie Elemente $g_j \in G$
(in der Variablen {\tt elts}) zur\"uckgibt, so da{\ss} man den $j$--ten
Bahnpunkt als $i.g_j$ erh\"alt.

\begin{verbatim}
bahn := [i]; elts := [()]; b := 1;
while b <= Length( bahn ) do
for x in X do
if not bahn[b]^x in bahn then
fi;
od;
b := b + 1;
od;
return [bahn, elts];
\end{verbatim}


\noindent (Dabei bezeichnet $()$ die Identit\"at von $G$, $*$ das Produkt von
Permutationen und $\hat{\;}$ das Anwenden einer Permutation auf
einen Punkt. Mit {\tt l[i]} ist das $i$--te Element einer Liste $l$ gemeint.
Die Anweisung {\tt Add} f\"ugt einer Liste ein weiteres Element hinzu.)\\

\noindent (b) Beschreiben Sie ein rekursives Verfahren, das mit Hilfe
des Algorithmus
in (a) und Schreier's Untergruppensatz (siehe Satz 1 in \S 5 von Kap.I der
Vorlesung) die Ordnung von $G$ berechnet.

{\em Hinweis:} Die Elemente $g_j$, die man in (a) erh\"alt, bilden ein
Nebenklassenvertretersystem f\"ur den Stabilsator $H$ des Punktes $i$ in $G$.
Die Rekursion wird auf die Untergruppe $H$ angewandt.
\end{aufgabe}

\noindent Ziel der folgenden Aufgaben wird es sein, mit Hilfe des
Programmsystems {\sf GAP} einige Permutationsgruppen praktisch zu
untersuchen und mit den gewonnenen rechnerischen Ergebnissen die
Einfachheit dieser Gruppen nachzuweisen. Dazu zuerst eine theoretische
Aufgabe:

\begin{aufgabe}
Sei $G$ eine endliche Gruppe, die treu, transitiv und primitiv auf einer
Menge $X$ operiert, und $p$ eine Primzahl mit folgenden Eigenschaften:\\
(i) $p \mid |X|$ und $p$ teilt $|G|$ genau einmal.\\
(ii) $G$ wird von Elementen der Ordnung $p$ erzeugt.\\
Zeigen Sie, da{\ss} dann $G$ einfach ist.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
Seien $a:=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)$ und $b:=(3,7,11,8)(4,10,5,6)$
Permutationen in $S_{11}$ und $H:=\langle s,b\rangle$.\\
(a) Berechnen Sie mit Hilfe von {\sf GAP} die punktweisen Stabilisatoren
von $\{1\}$, $\{1,2\}$, $\{1,2,3\}$, $\{1,2,3,4\}$ sowie jeweils die Bahnen
dieser Stabilisatoren auf $\{1,\ldots,11\}$. Berechnen Sie die damit
die Ordnung von $H$ und ihre Faktorisierung als Produkt von
Primzahlpotenzen.\\
(b) Sei $U:=\langle a,bab^{-1} \rangle \leq H$. Zeigen Sie, da{\ss} $U=H$
gilt. {\em Hinweis:} Berechnen Sie mit {\sf GAP} die Ordnung von $U$.\\
(c) Zeigen Sie, da{\ss} $H$ einfach ist. {\em Hinweis:} Benutzen Sie
Aufgabe 1.\\
Die Gruppe $H$ wird \"uberlicherweise mit $M_{11}$ bezeichnet.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
Wir fassen die Elemente $a,b$ aus Aufgabe 2 als Permutationen in $S_{12}$ auf,
die den Punkt $12$ festlassen. Sei weiterhin $c:=(1,12)(2,11)(3,6)(4,8)(5,9) (7,10)$ und $G:=\langle a,b,c \rangle \leq S_{12}$.\\
(a) Wieviel--fach transitiv operiert $G$ auf $\{1,\ldots,12\}$? Zeigen Sie
mit Hilfe von {\sf GAP}, da{\ss} $H$ (aus Aufgabe 2) der Stabilisator von $12$
ist.\\
(b) Berechnen Sie mit Hilfe von {\sf GAP} die Ordnung von $G$.\\
(c) Zeigen Sie, da{\ss} $G$ einfach ist. {\em Hinweis:} Beachten Sie, da{\ss}
$H$ eine einfache und maximale Untergruppe von $G$ ist.\\
Die Gruppe $G$ wird \"ublicherweise mit $M_{12}$ bezeichnet.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
Sei $M_{24}:=\langle ( 1,24)( 2,23)( 3,12)( 4, 16)( 5,18)( 6,10)( 7,20)( 8,14)( 9,21)(11,17)(13,22)(15,19)$,\\
$( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23)$,\\
$( 3,17,10, 7, 9)( 4,13,14, 19, 5)( 8,18,11,12,23)(15,20,22,21,16) \rangle \leq S_{24}$. Bestimmen Sie die punktweisen Stabilisatoren $M_{23}$ bzw.\
$M_{22}$ von $\{24\}$ bzw.\ $\{23,24\}$. Untersuchen Sie, wieviel--fach
transitiv $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{24}$ sind, bestimmen Sie die Ordnungen
und zeigen Sie jeweils, da{\ss} diese Gruppen einfach sind. Benutzen Sie dabei
\"ahnliche Methoden wie in den vorherigen Aufgaben.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
Gegeben seien die folgenden invertierbaren Matrizen \"uber dem
K\"orper $F:={\Z}/11{\Z}$ mit $11$ Elementen:
{ $a:=\left( \begin{array}{rrrrrrr} 10 & 6 & 6 & 7 & 6 & 7 & 7 \\ 6 & 6 & 7 & 6 & 7 & 7 & 10 \\ 6 & 7 & 6 & 7 & 7 & 10 & 6 \\ 7 & 6 & 7 & 7 & 10 & 6 & 6 \\ 6 & 7 & 7 & 10 & 6 & 6 & 7 \\ 7 & 7 & 10 & 6 & 6 & 7 & 6 \\ 7 & 10 & 6 & 6 & 7 & 6 & 7 \end{array} \right),\;\; b:=\left( \begin{array}{rrrrrrr} 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right).$}
Ziel dieses \"Ubungsblattes ist die Untersuchung der Gruppe
$J:=\langle a,b \rangle \leq GL_7(11)$. Wir werden eine Permutationsdarstellung
von $J$ konstruieren und dann auf \"ahnliche Weise wie in der 1.Zusatz\"ubung
zeigen k\"onnen, da{\ss} $J$ einfach ist. Die Gruppe $J$ wurde von Z.Janko
entdeckt (siehe der Artikel in Journal of Algebra 3 (1966), 147--186).\\
(i) Geben Sie  die Matrizen $a,b$ in {\sf GAP} ein, berechnen Sie
$c:=baba^2ba^3b^2$, die Ordnung von $c$ und zeigen Sie, da{\ss} der Vektor
$v_0:=(1,1,7,3,0,2,3) \in F^7$ eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert
$1$ ist.\\
(ii) Sei $0 \neq v=(v_1,\ldots,v_7) \in F^7$ und $i \geq 1$ minimal mit
$v_i \neq 0$. Dann nennen wir $N(v):=v_i^{-1} \cdot v$ den zugeh\"origen
normierten Vektor. Schreiben Sie ein {\sf GAP}--Programm, welches f\"ur
jedes $0 \neq v \in F^7$ den zugeh\"origen normierten Vektor zur\"uckgibt.\\
(iii) Die Gruppe $J$ operiert auf nat\"urliche Weise auf den normierten
Vektoren $\neq 0$ in $F^7$ (f\"ur $g \in G$ und $v \in F^7$ normiert ist
$v.g:=N(v \cdot g)$). Schreiben Sie ein {\sf GAP}--Programm, welches die
Bahn $B$ von $v_0$ unter dieser Operation berechnet.\\
(iv) Zeigen Sie, da{\ss} $J$ treu auf $B$ operiert. Numerieren Sie die
Elemente von $B$ mit $1,\ldots,|B|$ und schreiben Sie ein {\sf GAP}--Programm,
welches die von den Matrizen $a,b$ bewirkten Permutationen
$\pi_a,\pi_b$ auf den Ziffern $1,\ldots,|B|$ zur\"uckgibt.\\
(v) Bestimmen Sie mit Hilfe von {\sf GAP} die Ordnung von $J$ und zeigen Sie,
da{\ss} $J$ primitiv operiert.\\
(vi) Bilden Sie mit Hilfe von {\sf GAP} einige beliebige Produkte der Matrizen
$a,b$. Versuchen Sie, auf diese Weise ein Element von $J$ der Ordnung 19 zu
finden. Benutzen Sie schlie{\ss}lich Aufgabe 1 der 1.Zusatz\"ubung, um die
Einfachheit von $J$ nachzuweisen.\\
(vii) Bestimmen Sie mit Hilfe von {\sf GAP} eine $2$--Sylowgruppe $P$ von $J$,
ein Element $z \in Z(P)$ der Ordnung 2, sowie $C:=C_J(z)$. Berechnen Sie die
Ordnung von $C$, die Kommutatorgruppe von $C$ und zeigen Sie, da{\ss}
$C \cong {\Z}_2 \times A_5$ gilt.\\
{\em Bem.:} Janko zeigt in dem oben erw\"ahnten Artikel, da{\ss} $J$ die
einzige einfache Gruppe ist, in der es ein Element der Ordnung 2 wie in (vii)
gibt.
\end{aufgabe}


\end{document}

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